문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 로런츠 군 (문단 편집) == 무한소 변환, 로런츠 대수 == 모든 리 군은 무한소 변환을 가지고 있다.[* 미분기하학의 언어로는 원점에서의 접공간(tangent space)에 적당한 성질(left-invariance 같은 것)을 부여한 공간을 말한다.] [[직교군]] [math(O(3))]에서도 찾을 수 있었던 것인데, 로런츠 군에서도 같은 방법으로 무한소 변환들을 찾을 수 있다. 먼저 로런츠 군은 직교군을 부분군으로 갖는다. 그도 그럴 것이 공간 성분끼리만 '회전'시키는 것은 우리가 아는 3차원 회전이 맞기 때문이다. 더 구체적으로 임의의 [math(U \in O(3))]에 대해 다음과 같은 [math(4 \times 4)]-행렬을 생각해 보자. {{{+1 [math(\tilde{U} = \left( \begin{array}{rr} 1 && \;\; 0 \\ 0 \;\; && U \end{array} \right).)] }}} 그러면 임의의 4차원 벡터 [math(x)]에 대해 [math(\tilde{U} x)] 혹은 [math((\tilde{U})^\mu_\nu x^\nu)]는 시간 성분만 그대로 냅두고 나머지만 변환이 된 행렬이다. 더욱이 [math((\tilde{U} x)_\mu (\tilde{U} x)^\mu = x_\alpha (\tilde{U})^\alpha_\mu (\tilde{U})^\mu_\alpha x^\alpha = x_\mu x^\mu)]가 되어 [math(\tilde{U})]는 잘 정의된 로렌츠 변환에 해당하는 행렬임을 알 수 있다. 또는 [math(JX = X^T J)]임을 직접 확인할 수 있다. 한편 임의의 [math(U_1, U_2 \in O(3))]에 대하여 [math(U = U_1 U_2)]라고 표기하면 [math(\tilde{U_1} \tilde{U_2} = \tilde{U})]이며 [math(\tilde{U^{-1}} = (\tilde{U})^{-1})]임을 쉽게 확인할 수 있어 [math(\tilde{U})]들의 집합은 [math(O(3))]와 동형인 로런츠 군의 부분군임을 알 수 있다. 따라서 [math(o(3))]의 기본적인 무한소 변환 [math(J_1, J_2, J_3)] 같은 게 로런츠 군에도 있을 것이다. 실제로 이들은 다음과 같이 정의된다. {{{+1 [math(\begin{matrix} J_1 &=& \left( \begin{array}{rrrr} 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && -i \\ 0 \;\; && 0 \;\; && i \;\; && 0 \end{array} \right), \;\; \\J_2 &=& \left( \begin{array}{rrrr} 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && i \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && -i \;\; && 0 \;\; && 0 \end{array} \right), \;\; \\J_3 &=&\!\!\!\left( \begin{array}{rrrr} 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && -i \;\; && 0 \\ 0 \;\; && i \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \end{array} \right).\end{matrix})] }}} 한편 이들 원소들은 [math(JX = X^\dagger J)]를 만족한다는 것 역시 알 수 있다. 물론 이건 리 군의 무한소 변환이면 모두 만족해야 할 성질이다. 따라서 [math(J_i)]들은 모두 로런츠 대수의 원소이다. 그리고 [math(O(3))]의 무한소 변환들도 그랬던 것처럼 이들 원소들도 다음을 만족한다. {{{+1 [math([J_1, J_2] = iJ_3, \;\; [J_2, J_3] = iJ_1, \;\; [J_3, J_1] = iJ_2.)] }}} 그렇다면 이들 말고도 다른 무한소 변환은 없는 것일까? 예를 들면 로런츠 부스트 같은 것들 말이다. 그걸 알아 보기 위해 로런츠 부스트에 해당하는 변환들을 살펴보자. 로런츠 부스트에 해당하는 로런츠 군의 원소는 다음과 같다. {{{+1 [math(\begin{matrix} &&\left( \begin{array}{rrrr} \gamma \;\; && -\gamma \beta \;\; && 0 \;\; && 0 \\ -\gamma \beta \;\; && \gamma \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 1 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 1 \end{array} \right),\\ &&\left( \begin{array}{rrrr} \gamma \;\; && 0 \;\; && -\gamma \beta \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 1 \;\; && 0 \;\; && 0 \\ -\gamma \beta \;\; && 0 \;\; && \gamma \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 1 \end{array} \right), \\ && \left( \begin{array}{rrrr} \gamma \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && -\gamma \beta \\ 0 \;\; && 1 \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 1 \;\; && 0 \\ -\gamma \beta \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && \gamma \end{array} \right). \end{matrix})] }}} 이들은 각각 x축, y축, z축 방향으로의 로런츠 부스트이다. 여기서 [math(\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}})]이다. 그런데 [math((\gamma)^2 - (\gamma \beta)^2 = 1)]이므로 [math(\gamma = \cosh{\xi}, \gamma \beta = \sinh{\xi})]에 해당하는 실수 [math(\xi)]가 존재한다. 이걸로 위 부스트들을 다시 표현해 보자. {{{+1 [math(\begin{matrix}&&\left( \begin{array}{rrrr} \cosh{\xi} \;\; && -\sinh{\xi} \;\; && 0 \;\; && 0 \\ -\sinh{\xi} \;\; && \cosh{\xi} \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 1 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 1 \end{array} \right),\\&& \left( \begin{array}{rrrr} \cosh{\xi} \;\; && 0 \;\; && -\sinh{\xi} \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 1 \;\; && 0 \;\; && 0 \\ -\sinh{\xi} \;\; && 0 \;\; && \cosh{\xi} \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 1 \end{array} \right), \\&&\left( \begin{array}{rrrr} \cosh{\xi} \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && -\sinh{\xi} \\ 0 \;\; && 1 \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 1 \;\; && 0 \\ -\sinh{\xi} \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && \cosh{\xi} \end{array} \right).\end{matrix})] }}} 사실 x축 방향으로의 로런츠 부스트 행렬은 다음과 같이 쓸 수 있다. {{{+1 [math(\displaystyle 1 + \sum_{n = 1}^\infty \frac{\xi^{2n}}{(2n)!} \left( \begin{array}{rrrr} 1 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 1 \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \end{array} \right) + \sum_{n = 0}^\infty \frac{\xi^{2n + 1}}{(2n + 1)!} \left( \begin{array}{rrrr} 0 \;\; && -1 \;\; && 0 \;\; && 0 \\ -1 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \end{array} \right))] }}} {{{+1 [math(\displaystyle = \sum_{n = 0}^\infty \frac{1}{n!} \left( \left( \begin{array}{rrrr} 0 \;\; && -1 \;\; && 0 \;\; && 0 \\ -1 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \end{array} \right) \xi \right)^n = \exp{\left( i \left( \begin{array}{rrrr} 0 \;\; && i \;\; && 0 \;\; && 0 \\ i \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \end{array} \right) \xi \right)}.)] }}} y축, z축 방향으로의 나머지 행렬들에 대해서도 똑같은 작업을 할 수 있다. 결국 다음 행렬들이 각 로런츠 부스트의 무한소 변환에 해당하는 행렬들임을 알 수 있다. {{{+1 [math(\begin{matrix}K_1 &=& \left( \begin{array}{rrrr} 0 \;\; && i \;\; && 0 \;\; && 0 \\ i \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \end{array} \right), \;\; \\K_2 &=& \left( \begin{array}{rrrr} 0 \;\; && 0 \;\; && i \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \\ i \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \end{array} \right), \;\; \\K_3 &=&\!\!\!\! \left( \begin{array}{rrrr} 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && i \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \\ i \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \end{array} \right).\end{matrix})] }}} 이때 다음이 성립한다는 것을 직접 확인할 수 있다. {{{+1 [math([K_1, K_2] = -iJ_3, \;\; [K_2, K_3] = -iJ_1, \;\; [K_3, K_1] = -iJ_2, \;\; )] }}} {{{+1 [math([J_1, K_1] = 0, \;\; [J_1, K_2] = iK_3, \;\; [J_1, K_3] = -iK_2, \;\; )] }}} {{{+1 [math([J_2, K_1] = -iK_3, \;\; [J_2, K_2] = 0, \;\; [J_2, K_3] = iK_1, \;\; )] }}} {{{+1 [math([J_3, K_1] = iK_2, \;\; [J_3, K_2] = -iK_1, \;\; [J_3, K_3] = 0.\;\; )] }}} 뭔가 많다.(...) 이걸 [[레비치비타 기호]]로 간단하게 쓸 수 있다. 기왕 쓰는 김에 [math([J_l, J_m])] 식들도 같이 정리해서 쓰자. {{{+1 [math(\displaystyle [J_l, J_m] = i\sum_{n = 1}^3 \epsilon_{lmn} J_n, \;\; [K_l, K_m] = -i\sum_{n = 1}^3 \epsilon_{lmn} J_n, \;\; [J_l, K_m] = i\sum_{n = 1}^3 \epsilon_{lmn} K_n.)] }}} 이런 교환자 관계를 얻는다. 이 관계들로부터 서로가 서로를 리 괄호(교환자)로 만드는 것을 볼 수 있다. 이는 곧 [math(J_n, K_n)]들이 리 대수를 이룬다는 것을 뜻한다. 즉, 이들 여섯 개의 성분들을 선형결합하여 만든 모든 원소들의 집합은 리 대수를 이룬다. 더군다나 [math(J_n, K_n)]들은 모두 다른 성분들을 가지고 있어 일차독립 집합을 이룬다. 그 말은 이 여섯 개 행렬들이 방금 전에 말한 리 대수의 기저(basis)임을 말하고, 따라서 이 리 대수의 차원은 6이다. 이로부터 이 리 대수가 로렌츠 대수와 같다는 것을 알 수 있다. 재밌는 것은 위 식들에서 [math(K_n)] 자리에 [math(iJ_n)]를 대신 써 넣어도 식들이 똑같이 성립한다는 것이다. 이 특성 때문에 로런츠 대수가 [math(sl_R(2, C))]라는 리 대수와 동형이라는 것을 밝힐 수 있다. 이 대수는 [math(O(3))]를 다룰 때 썼던 [math(sl(2))]에 [math(iH, iE, iF)]를 덧붙여서 만든 대수이다. 이런 새로운 형태를 이용해 로런츠 군의 많은 성질을 손쉽게 다룰 수 있다. 특히 (1/2-)[[스피너(물리학)|스피너]]를 다룰 때 매우 유용하다. 이러한 정의들로부터 로런츠 군에 있는 임의의 원소는 다음과 같이 쓸 수 있다는 것을 알 수 있다. {{{+1 [math(A = \exp{(i\vec{\theta} \cdot \vec{J} + i\vec{\beta} \cdot \vec{K})}.)] }}} 여기서 [math(\vec{J} = (J_1, J_2, J_3), \vec{K} = (K_1, K_2, K_3))]는 행렬을 성분으로 갖는 벡터로 ~~이젠 하다 못해 행렬로 벡터를 만드는구나~~ 사실 [math(\sum_{i = 1}^3 \theta_i J_i)]와 [math(\sum_{i = 1}^3 \beta_i K_i)]를 다 쓰기 귀찮아서(...) 이렇게 쓴 것이다. 물론 [math(\theta_i, \beta_i)]는 임의의 실수들이다. 조금 전에 [[레비치비타 기호]]로 정리를 좀 했었다. 여기서 더 정리가 가능하다. 다음과 같이 기호를 정의해 보자. {{{+1 [math(J^{01} = K_1, \;\; J^{02} = K_2, \;\; J^{03} = K_3, )] }}} {{{+1 [math(J^{23} = J_1, \;\; J^{31} = J_2, \;\; J^{12} = J_3, )] }}} {{{+1 [math(J^{\mu \nu} = -J^{\nu \mu}.)] }}} 이렇게 기호를 정하고 마찬가지로 [math(\omega^{01} = -\beta_1, \omega^{02} = -\beta_2, \omega^{03} = -\beta_3)], [math(\omega^{23} = \theta_1, \omega^{31} = \theta_2, \omega^{12} = \theta_3)]로 표기하면 다음을 얻는다. {{{+1 [math(\sum_{i = 1}^3 \theta_i J_i + \sum_{i = 1}^3 \beta_i K_i = \omega^{23} J^{23} + \omega^{31} J^{31} + \omega^{12} J^{12} - \omega^{01} J^{01} - \omega^{02} J^{02} - \omega^{03} J^{03})] }}} {{{+1 [math( = -\omega^{01} J^{01} - \omega^{02} J^{02} - \omega^{03} J^{03} + \omega^{12} J^{12} + (-\omega^{13}) (-J^{13}) + \omega^{23} J^{23})]}}} {{{+1 [math( = \sum_{\mu < \nu} (\eta_{\mu \alpha} \eta_{\nu \beta} \omega^{\alpha \beta}) J^{\mu \nu}) = \frac{1}{2} \sum_{\mu < \nu} (\eta_{\mu \alpha} \eta_{\nu \beta} \omega^{\alpha \beta}) J^{\mu \nu} + \frac{1}{2} \sum_{\nu < \mu} (\eta_{\nu \alpha} \eta_{\mu \beta} \omega^{\alpha \beta}) J^{\nu \mu})] }}} {{{+1 [math( = \frac{1}{2} \sum_{\mu < \nu} (\eta_{\mu \alpha} \eta_{\nu \beta} \omega^{\alpha \beta}) J^{\mu \nu} + \frac{1}{2} \sum_{\nu < \mu} (\eta_{\nu \alpha} \eta_{\mu \beta} (-\omega^{\beta \alpha})) (-J^{\mu \nu}))] }}} {{{+1 [math( = \frac{1}{2} \sum_{\mu = 0}^3 \sum_{\nu = 0}^3 (\eta_{\mu \alpha} \eta_{\nu \beta} \omega^{\alpha \beta}) J^{\mu \nu} = \frac{1}{2} \omega_{\mu \nu} J^{\mu \nu}.)] }}} 이 표기를 쓰면 로런츠 군의 원소들을 이렇게 표기할 수 있다. {{{+1 [math(A = \exp{\left( i\frac{1}{2} \omega_{\mu \nu} J^{\mu \nu}) \right)}.)] }}} 더 간단해졌다. ~~오오 뭔가 쓸데 없어 보이지만 멋지다~~ 교환자 관계도 한 식으로 정리할 수 있는데, 그 결과는 다음과 같다. {{{+1 [math([J^{\mu \nu}, J^{\lambda \rho}] = i(\eta^{\mu \lambda} J^{\nu \rho} + \eta^{\mu \rho} J^{\nu \lambda} - \eta^{\nu \lambda} J^{\mu \rho} - \eta^{\nu \rho} J^{\mu \lambda}).)] }}} ~~??? 왜 어려워졌지?~~ 어쨌든 (...) 이렇게 한 식으로 정리할 수 있다. 이걸로 로런츠 대수를 정의하기도 한다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기